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目 录1

第一章函数1

一、内容提要1

二、范例5

（一）实数与绝对值5

（二）函数及其定义域7

（三）函数的简单性质14

（四）列函数式18

（五）反函数、初等函数22

（六）函数作图24

习题一26

习题一答案31

第二章极限与连续性39

一、内容提要39

二、范例45

（一）利用极限定义验证极限45

（二）利用极限四则运算及性质求极限49

（三）利用两个重要极限求极限55

（四）函数的连续性与间断点58

习题二62

习题二答案66

一、内容提要73

第三章导数与微分73

二、范例80

（一）导数概念80

（二）求导数的方法86

（三）函数的微分94

（四）高阶导数和高阶微分97

（五）相关变化率97

习题三100

习题三答案104

一、内容提要112

第四章中值定理112

二、范例115

（一）中值定理115

（二）洛必达法则119

（三）泰勒公式126

习题四130

习题四答案131

第五章导数的应用135

一、内容提要135

（一）函数的单调性138

二、范例138

（二）函数的极值与最值140

（三）曲线的凹凸性、拐点和渐近线146

（四）描绘函数图形、曲率148

习题五152

习题五答案154

第六章不定积分161

一、内容提要161

二、范例168

（一）简单的不定积分168

（二）第一换元积分法（即凑微分法）170

（三）第二换元积分法177

（四）分部积分法186

（五）交替使用换元法与分部积分法192

（六）有理函数的积分196

（七）三角函数有理式的积分203

（八）简单无理函数的积分209

习题六211

习题六答案214

第七章定积分218

一、内容提要218

（一）由定积分定义计算定积分226

二、范例226

（二）定积分的性质228

（三）用定积分求极限232

（四）用牛顿－莱布尼兹公式求定积分234

（五）用凑微分法计算定积分236

（六）用变量代换法计算定积分237

（七）根据函数的奇偶性计算定积分241

（八）用分部积分法计算定积分242

（九）定积分的近似计算244

（十）无穷积分249

（十一）瑕积分253

习题七257

习题七答案259

第八章定积分的应用261

一、内容提要261

二、范例267

（一）求平面图形的面积267

（二）平行截面面积为已知的立体体积274

（三）旋转体的体积275

（四）平面曲线的弧长278

（五）求旋转曲面的侧面积281

（六）定积分的物理应用285

习题八288

习题八答案290

第九章空间解析几何292

一、内容提要292

二、范例302

（一）空间直角坐标系302

（二）矢量代数305

（三）平面315

（四）空间直线321

（五）二次曲面325

习题九328

习题九答案330

第十章多元函数微分学333

一、内容提要333

二、范例341

（一）函数及其定义域341

（二）二元函数的极限与连续性347

（三）偏导数与全微分351

（四）多元函数微分学的几何应用366

（五）极值368

习题十372

习题十答案374

第十一章重积分377

一、内容提要377

二、范例388

（一）二重积分388

（二）三重积分400

（三）重积分的应用407

习题十一419

习题十一答案421

一、内容提要423

第十二章曲线积分与曲面积分423

二、范例433

（一）曲线积分433

（二）曲面积分449

习题十二458

习题十二答案460

第十三章场论初步461

一、内容提要461

二、范例468

（一）数量场与矢量场468

（二）方向导数，梯度470

（三）散度474

（四）环量，旋度478

（五）有势场，管形场，调和场483

（六）杂题486

习题十三488

习题十三答案490

第十四章级数491

一、内容提要491

二、范例500

（一）数项级数的敛散性501

（二）函数项级数的一致收敛性512

（三）幂级数514

习题十四531

习题十四答案534

第十五章傅立叶（Fourier）级数536

一、内容提要536

二、范例541

（一）把周期为2π的函数展为傅立叶级数541

（二）把周期为2l（l为任意正数）的函数展为傅立叶级数546

（三）偶函数的傅立叶级数548

（四）奇函数的傅立叶级数551

（五）把非周期函数展为傅立叶级数552

（六）把函数展为正弦级数与余弦级数555

（七）杂题559

习题十五563

习题十五答案564

第十六章常微分方程565

一、内容提要565

二、范例575

（一）基本概念575

（二）可分离变量方程580

（三）齐次方程584

（四）一阶线性微分方程588

（五）全微分方程593

（六）可降阶的二阶微分方程596

（七）二阶常系数线性齐次方程598

（八）二阶常系数线性非齐次方程601

（九）变系数二阶线性方程607

（十）常微分方程组616

（十一）应用题618

习题十六623

习题十六答案625